Del 1: Lineære ligninger og algebraisk argumentasjon

Lineære ligninger og algebraisk argumentasjon

En ligning er et utsagn om at to uttrykk har nøyaktig samme verdi. Å løse en ligning betyr å finne verdien for den ukjente variabelen (oftest $x$) som gjør påstanden sann.

1. Balanseprinsippet og lovlige operasjoner

Du kan tenke på ligningen som en skålvekt. For at den skal holde seg i balanse, må du gjøre NØYAKTIG det samme på begge sider av likhetstegnet:

• Legge til eller trekke fra samme ledd.
• Multiplisere eller dividere alle ledd med samme tall (ulik 0).

2. Strategi for brøkligninger og parenteser

Når en ligning inneholder parenteser og brøker:

1. Løs opp parenteser (pass spesielt på minusparenteser!).
2. Gang alle ledd med fellesnevneren (FN) for å rydde bort brøkene.
3. Samle alle ledd med $x$ på den ene siden, og alle rene tallledd på den andre siden.
4. Divider med tallet foran $x$ (koeffisienten) til slutten.

Eksempeloppgaver med løsningsforslag

Eksempel 1.1: Brøkligning med parentes

Løs ligningen: $$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x - 3}{2} = 1$$

Løsning:

1. Finn fellesnevner (FN): Fellesnevner for 3 og 2 er 6.
2. Gang alle ledd med 6: $$6 \cdot \frac{2x - 1}{3} - 6 \cdot \frac{x - 3}{2} = 6 \cdot 1$$
3. Forkort nevnerne: $$2(2x - 1) - 3(x - 3) = 6$$
4. Gang ut parentesene (husk at $-3 \cdot (-3) = +9$!): $$4x - 2 - 3x + 9 = 6$$
5. Trekk sammen leddene: $$x + 7 = 6 \implies x = 6 - 7 = -1$$

Svar: $x = -1$.